Matrizen Invertieren und Multiplizieren

Quick Facts

• Bei der Identitätsmatrix I gilt $(A+I)^2 = A^2 + 2AB + I^2$. Sonst aber nicht.
• $(AB)^{\mathrm{T}} = B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
• $(A^{\mathrm{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathrm{T}}$
• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $A^{-1} \cdot A=I$
• Der Nullspace von A ist nie $\emptyset$, da $A \cdot 0=0$ immer gilt.
• Wenn A invertierbar ist, so gilt $Ax=0$ nur für $x=0$
• $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$
• “invertierbar” heißt eigentlich bijektiv, siehe [[Transformations-Eigenschaften]]

Invertieren

Case $1 \times 1.$

$$
A = [a] \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \left[ \frac{1}{a} \right] \quad (\text{if } a \neq 0).
$$

Case $2 \times 2.$

$$
A = 
\begin{bmatrix}
a & b \
c & d
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
A^{-1} = 
\frac{1}{ad – bc}
\begin{bmatrix}
d & -b \
-c & a
\end{bmatrix}
\quad (\text{if } ad – bc \neq 0).
$$

Sonst? Durch Logik oder Row Operations eine Matrix mit $B \cdot B^{-1} = I$ finden.