Algebra 01, Einleitung

Quick Facts

• Eine Algebra besteht aus einer Menge G und einer Operation $*$ die aus G nach G formt. Eine Algebra ist somit unter ihrer Operation $*$ ==abgeschlossen==.
• $a^n$ heißt hier, dass wir n mal a mit a verknüpfen, also die Operation der Gruppe anwenden
• Wenn nicht genauer definiert nehmen wir als Operation die Addition (modulo something)
• Monoid:
  • Algebra
  • Operation $*$ ist assoziativ (G1)
  • gibt ein neutrales Element $e \in G$, $a * e = e * a = a \quad \forall a \in G$ (G2)
  • Beispiel: $〈\mathcal{P}(\mathbb{N}); \cap〉$ ist ein Monoid, da die Union assoziativ ist, neutrales Element ist $\mathbb{N}$
• Gruppe:
  • Monoid
  • gibt ein inverses Element für jedes $a \in G$ existiert $\hat{a} \in G$, so dass $a * \hat{a} = \hat{a} * a = e$ (G3)
  • → siehe Zyklische Gruppen
• Abelsche Gruppe (Abelian)
  • Gruppe
  • Kommutativität

Ordnung

→ siehe Ordnung

Homomorphism

$\psi(a \circ b) = \psi(a) \ast \psi(b)$

Es ist egal, ob wir zuerst die Operation und dann das mapping machen, oder zuerst das mappen und dann die Operation.

Isomorphismus

Ein Homomorphismus der zusätzlich eine Bijektion ist, also:

• injektiv ($\psi(a) = \psi(b) \;\Rightarrow\; a = b$)
• surjektiv ($\text{für jedes } h \in H \text{ gibt es ein } g \in G \text{ mit } \psi(g) = h$)

Für jedes $n \in \mathbb{Z}^+$ ist jede zyklische Gruppe der Ordnung $n$ isomorph zu $\mathbb{Z}_n$.

Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu $\mathbb{Z}$.

Untergruppen (Subgroups)

Eine Teilmenge (subset) $H \subseteq G$ einer Gruppe ist eine Subgruppe, wenn

• die binäre Operation auf Elemente der Teilmenge (Untergruppe) ist in der Untergruppe abgeschlossen
• das neutrale Element ist in der Untergruppe
• für alle Elemente in der Untergruppe ist ihre Inverse auch in der Untergruppe

2 triviale Teilmengen (Untergruppen) der Gruppe $G$:

• $\{e\}$
• G selbst

Direct Product

Aus mehreren Gruppen $G_{1}, G_{2}, \dots, G_{n}$ bauen wir eine neue Gruppe, deren Elemente Toupel $a_{1}, \dots, a_{n}$ sind ($a_{i} \text{ aus } G_{i}$). Erste Komponenten werden mit der Operation von $G_{1}$ verknüpft, die zweiten mit $G_{2}$, etc.

Beispiel:

$G_{1}$ = $〈\mathbb{R}, +〉$
$G_{2}$ = $〈\mathbb{R_{>0}}, *〉$

In $\mathbb{R} \times \mathbb{R}_{>0}$ sieht ein Element so aus $(a, b) \text{ mit } a\in\mathbb{R},\; b\in\mathbb{R}_{>0}$.

Operation: $(a, b) \star (c, d) = (a + c,\; b * d)$
Neutrales Element: $(0,1)$
Inverses: $\left( -a, \frac{1}{b} \right)$ (einmal das Inverse von a in $G_{1}$ und einmal das von a in $G_{2}$)