Fabian Rohlik

Det 01, Introduction

  • Vorstellung in $\mathbb{R}^2$: Determinante gibt Flächeninhalt der durch Spaltenvektoren aufgespannten Körpers an
  • Für eine Matrix $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ gilt die Formel:

$$
\det(A) = a \cdot d – c \cdot b
$$

Rechenregeln

  • A nicht quadratisch: $\det(A)=0$. Im Folgenden also nur quadratische Matrizen:

Für quadratische Matrizen

  • $\det(A B) = \det(A) \cdot \det(B)$
  • $\det(A^T) = \det(A)$
  • $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ ($\det(A) \neq 0$)
  • $\det(\lambda \cdot A) = \lambda^n \cdot \det(A)$ (wobei $n$ die Ordnung der Matrix ist)
  • Matrix orthogonal, also $Q^\top Q=I$, dann gilt: $\det(A)=\pm 1$
  • Zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, Vorzeichen der Determinante swappen
  • Determinante ändert sich nicht wenn man ein Vielfaches einer Zeile (Spalte) zu einer anderen addiert
  • Invertierbar genau dann wenn $\det(A) \neq 0$. (lin.abh., dann det 0, imagine zwei Vektoren auf einer Linie, also Flächeninhalt 0)

Determinanten sind linear:

Für jede $a_0, \dots, a_n \in \mathbb{R}^n$ und $\alpha_0, \alpha_1 \in \mathbb{R}$

det⁡([−α0a0T+α1a1T−−a2T−⋮−anT−])=α0det⁡([−a0T−−a2T−⋮−anT−])+α1det⁡([−a1T−−a2T−⋮−anT−]) \det \left( \begin{bmatrix} – \alpha_0 a_0^T + \alpha_1 a_1^T – \\ – a_2^T – \\ \vdots \\ – a_n^T – \end{bmatrix} \right) = \alpha_0 \det \left( \begin{bmatrix} – a_0^T – \\ – a_2^T – \\ \vdots \\ – a_n^T – \end{bmatrix} \right) + \alpha_1 \det \left( \begin{bmatrix} – a_1^T – \\ – a_2^T – \\ \vdots \\ – a_n^T – \end{bmatrix} \right)

und auch für Spalten

det⁡([|||α0a0+α1a1a1⋯an|||])=α0det⁡([||a0⋯an||])+α1det⁡([||a1⋯an||])\begin{align} &\det \left( \begin{bmatrix} | & | & & | \\ \alpha_0 a_0 + \alpha_1 a_1 & a_1 & \cdots & a_n \\ | & | & & | \end{bmatrix} \right) \\ &= \alpha_0 \det \left( \begin{bmatrix} | & & | \\ a_0 & \cdots & a_n \\ | & & | \end{bmatrix} \right) + \alpha_1 \det \left( \begin{bmatrix} | & & | \\ a_1 & \cdots & a_n \\ | & & | \end{bmatrix} \right) \end{align}

Determinanten spezieller Matrizen

Quadratische Permutationsmatrix

  • ungerade (gerade) Anzahl an Permutationen, dann ist die Determinante -1 (1)
    Untere/Obere Dreiecksmatrix:
  • Diagonale multiplizieren
    Nur nicht-null Einträge an der Diagonale
  • Diagonale multiplizieren

→ Kofaktoren (Laplace-Formel)
→ General Case (Leibnitz-Formel)

Related posts