Vorstellung
Vorstellung Determinante: Flächeninhalt
Hier: Wie ändern Matrizen einen Vektor?
der Eigenvektor einer Matrix ist der Vektor, der seine Richung nach der Transformation nicht ändert und
der Eigenwert gibt an, wie sehr der Eigenvektor skaliert wird unter der Transformation
Daher:
In $Av=\lambda v$:
- A ist die Matrix der Transformation
- v ist der Eigenvektor
- $\lambda$ ist der Eigenvalue
Diagonalmatrix: Eigenwerte sind auf der Diagonalen
Also
$Av=\lambda v$ sagt, dass A angewendet auf v das gleiche ergibt, als v by $\lambda$ zu skalieren.
Berechnen
$Av=\lambda v$
$\Longleftrightarrow Av-\lambda v=0$
$\Longleftrightarrow (A-\lambda I)v=0$
$\Longleftrightarrow (A-\lambda I)v=0$ hat eine nicht triviale Lösung
$\Longleftrightarrow (A-\lambda I)$ ist nicht invertierbar
$\Longleftrightarrow \det(A-\lambda I)=0$
Beispiele, Eigenwerte
Beispiel 1
$$
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
$$
\det(A – \lambda I) = \det \left( \begin{bmatrix} 2-\lambda & 3 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} \right) = \lambda^2 – 2\lambda – 3 = 0
$$
$$
\lambda^2 – 2\lambda – 3 = (\lambda – 3)(\lambda + 1) = 0
$$
Eigenwerte:
- $\lambda_1 = 3$
- $\lambda_2 = -1$
Beispiel 2
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$
$$
\det(A – \lambda I) = \det \left( \begin{bmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda \end{bmatrix} \right) = \lambda^2 – 2\lambda + 2 = 0
$$
$$
\lambda_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}= \frac{2 \pm 2i}{2}= 1 \pm i
$$
Eigenwerte
- $\lambda_1 = 1 + i$
- $\lambda_2 = 1 – i$