Leibniz-Formel
- → siehe Kofaktoren
- Möglichkeit, mit [[Gauss and Gauss-Jordan|Gauss-Elimination]] in eine triangular Matrix umzustellen und dann det einfach zu berechnen. Die Determinante ändert sich nicht bei row operations, ausser beim swappen ändert sich das Vorzeichen der det.
- Sonst (Def.7.2.3):
$$
\det(A) = \sum_{\sigma \in \Pi_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} A_{i, \sigma(i)}
$$
$\Pi_n$: Menge aller Permutationen (“alle Möglichkeiten, die Zahlen $1$ bis $n$ durcheinanderzuwürfeln”)
$\prod_{i=1}^{n} A_{i, \sigma(i)}$: pro Zeile wählen wir einen Eintrag, bestimmt von $\sigma$.
Nehmen wir an, wir haben eine Permutation $\sigma$, die $(1, 2, 3)$ zu $(2, 3, 1)$ vertauscht. Das heißt:
- $\sigma(1) = 2$
- $\sigma(2) = 3$
- $\sigma(3) = 1$
Wenn wir das in deine Formel ($\prod_{i=1}^{3} A_{i, \sigma(i)}$) einsetzen
- $i=1$: Wir sind in Zeile 1. Die Permutation sagt Spalte 2 ($\sigma(1)=2$). Element: $A_{1,2}$
- $i=2$: Wir sind in Zeile 2. Die Permutation sagt Spalte 3 ($\sigma(2)=3$). Element: $A_{2,3}$
- $i=3$: Wir sind in Zeile 3. Die Permutation sagt Spalte 1 ($\sigma(3)=1$). Element: $A_{3,1}$
Das Produkt für diese spezielle Permutation ist also: $A_{1,2} \cdot A_{2,3} \cdot A_{3,1}$.
Skript:
Permutationsfunktion Sigma
$\sigma(a)=b$ nimmt das a-te Element und ersetzt es mit b, wobei b ein anderes Element in der Reihe ist (nicht irgendein Element). Kann nur swapen.
z.B.
1 | 2 | 3 | 4 | 5
1 | 3 | 2 | 5 | 4
$\sigma(1)=1$, $\sigma(2)=3$, etc.
Es gibt also immer Paare die sich geändert haben.
Signum
Wozu? Vorzeichen bei Formel für Determinante richtig behalten, pro swap ändert sich ja das Vorzeichen. Siehe oben. Signum keeps track of that:
$\text{sgn}(\sigma)$ = 1 wenn gerade Anzahl an Paaren geändert wurden.
$\text{sgn}(\sigma)$ = -1 wenn ungerade Anzahl an Paaren geändert wurden.
Gegeben Permutationsmatrix mit Permutation $\sigma$, dann $\det(a)=\text{sgn}(\sigma)$. Beispiel:
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix} \implies \text{sgn}(\sigma)=-1 \implies \det=-1$
