Introduction
Ableitungen der Form
$$
F \vdash G
$$
Oder:
$$
\{F_1, \dots, F_k\} \vdash G
$$
Ableitung
$\vdash_R$ soll $\vDash$ imitieren nach festen Regeln R
$$
F \vdash_R G
$$
z.B.
$$
\{F, G\} \vdash_R (F \land G)
$$
- Schrittweise mehr Formeln aus einer Menge $M$ von gegebenen Formeln ableiten
- Kalkül ist eine (endliche) Menge von Regeln.
Schreibweise
$$
M \vdash_K F
$$
(wobei $K$ der Kalkül ist)
Eigenschaften
Sound (man kann nur Wahres ableiten)
$$
M \vdash_K F \implies M \models F
$$
Vollständig (Completeness):
$$
M \models F \implies M \vdash_K F
$$
Beispiele
$$
F \vdash \neg \neg F
$$
$$
\{F, F → G\} \vdash G
$$
Beispiele für Sound
$$
\{F, ¬ F \} \vdash_R G
$$
(die LHS ist immer falsch, also gilt die logische Implikation immer)
$$
\{F \lor G, ¬ G\} \vdash_R F \lor H
$$
$$
\emptyset \vdash_R (F \to G) \lor (G \to F)
$$
