Algebra 02, Ordnung

• Ordnung einer Gruppe: Anzahl Elemente in der Gruppe (ist eine Zahl oder $\infty$)
• Ordnung eines Elementes:
  Wie oft man ein Element mit sich selbst verknüpfen muss, damit das neutrale Element entsteht. Also $a^{\text{ord}(a)}=e$. Wenn das nicht möglich ist, dann unendlich.
  $\text{ord(a ∈ G)}=\min \{\, n \geq 1 \mid a^n = e \,\} \cup \{ \infty \}$,
• Lagrange. H ist eine Untergruppe von G (endlich). Es gilt |H| teilt |G|.
• Die Ordnung des Generators muss gleich der Gruppenordnung sein (bei endlichen Gruppen)

• Beispiele (Operation Addition)

  • $|\mathbb{Z}_{7}|=7$, und $\text{ord(1)}=7, \text{ord(2)}=7$
    • $|\mathbb{Z}_{7}|=7$, weil es 7 Restklassen bei mod 7 gibt, also 0,1,2,3,4,5,6
  • $|\mathbb{Z}_{7}^{*}|=6$, Anzahl Teilerfremd
  • $|\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}|= |\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}|=4$, und $\text{ord(1,1)}=2$
  • $|\mathbb{Z}|=\infty$, und $\text{ord(1)}=\infty$
  • $|\mathbb{Z}_{p}^{*}|=p-1$, wenn p eine Primzahl. In dem Fall $\mathbb{Z}_7^*=\{1,2,3,4,5,6\}$
  • Siehe Euler

• In einer endlichen Gruppe hat jedes Element eine endliche Ordnung.

  • Vorstellung: wenn ich a wiederholt mit a verknüpfe bis ich das neutrale Element bekomme, dann muss ich ja irgendwann im Kreis laufen, da ich nur endlich viele Elemente habe in der Gruppe. Also z.B. $a$ → $a^2$ → $a^3$ → $a^4$, und z.B. ist $a^2=a^4$.
  • Wir haben also

$$\begin{align}
a^r&=a^s\ \text{mit}\ r<s \\
(a^{-r})a^r&=(a^{-r})a^s \\
e &= a^{s-r} \\
\text{ord(a)} & \leq s-r
\end{align}$$