Fabian Rohlik

Algebra 05, Ringe und Körper

Gruppe:

  • Menge mit einer Verknüpfung, jedes Element hat Inverse

Ring:

  • Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition und Multiplikation)
    • Unter Addition: Gruppe
  • Nicht jedes Element hat multiplikatives Inverse

Körper:

  • Ring, alle Elemente außer 0 haben Inverses in der Multiplikation

Kurze Wiederholung

  • $|Z_7| = 7$
  • $|Z_7^*| = \varphi(7) = 6 \quad \text{(Anzahl teilerfremder Elemente)}$
    • $Z_7^* = \{1,2,3,4,5,6\}$
    • $Z_{12}^* = \{1,5,7,11\}$
  • $Z_7^* = \langle 3 \rangle$

Ring

Ring $R = \langle R, +, \cdot, 0, 1 \rangle$

  • $\langle R, +, 0 \rangle$ abelsche Gruppe
  • $\langle R, \cdot, 1 \rangle$ Monoid (nicht immer kommutativ)

In einem Ring gilt das Distributivgesetz.

Nullteiler

Ein nicht-null Element, dass multipliziert mit einem nicht-null Element 0 ergibt.

$ab \equiv_m 0 \Rightarrow a \equiv_m 0 \ \text{oder}\ b \equiv_m 0$

z. B. 2 in $\mathbb Z_{2m}$

Integritätsbereich

R ist Integritätsbereich, wenn R keinen Nullteiler hat

z.B.
$\mathbb Z_5 = \{0,1,2,3,4\}$
gibt keine $a,b \ne 0$ mit $ab = 0$

z.B.
$\mathbb Z,\ \mathbb Q,\ \mathbb R,\ \mathbb C,\ \mathbb Z_m$für m prim

Einheit

$a\cdot b = 1$für ein $b \in R$

Notation:
$\boxed{\text{R}^*}$ bedeutet alle Einheiten, also alle invertierbaren Elemente.

Irreduzibilität

Element, das keine (interessanten) Zerlegungen hat (z. B. Primzahlen).
Einheiten zählen nicht als irreduzibel

z.B.
$(x^2+1)$ in $\mathbb R$ irreduzibel,

in $\mathbb C$: $x^2+1 = (x+i)(x-i)$, also nicht irreduzibel

Lemma 5.17.png

Polynomringe

Notation

$\boxed{R[x]}$

Beispiele

  • $\mathbb R[x]$
  • $\mathbb Z_5[x]$

Da nur Konstanten (Grad 0) invertierbar sind, gilt $R[x]^* = R^*$

Begriffe

Monisch

  • max. Potenz hat Koeffizient $1$

Grad

  • $\deg(x^5) = 5$
  • $\deg(2) = 0$
  • $\deg(0) = -\infty$

→ Weiterlesen: Algebra 06, Polynome

Körper

Ring, aber jedes Element außer 0 hat ein Inverses.

Man kann rechnen wie mit normalen Zahlen. Die Division ist “mal das Inverse”.

z.B.
$\mathbb{Z}_m$ Körper $\iff m$ prim,
$\mathbb{R}, \mathbb{Q}, \mathbb{C}$

$F$ Körper $\Rightarrow F$ Integritätsbereich (kein Nullteiler)

Beweis:

Sei $u \in F \setminus \{0\}$
$\underline{u \cdot v = 0} \Rightarrow v = 0$:

$$
\begin{aligned}
v &= 1 \cdot v \\
v &= u^{-1} \cdot \underbrace{u \cdot v}_{0 \text{ per Annahme}} \\
v &= u^{-1} \cdot 0 = 0
\end{aligned}
$$

Def. „GF“

$GF(p) = \mathbb{Z}_p$ für $p$ prim

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