Quiz on Geometrische Vielfachheit bestimmen

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes $\lambda$ einer Matrix $A$ ist definiert als die Dimension des Eigenraums $E_\lambda = \ker(A – \lambda I)$.

Um die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes $\lambda$ zu bestimmen, berechnet man die Dimension des Bildraums $\operatorname{im}(A – \lambda I)$.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes $\lambda$ ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit dieses Eigenwertes.

Ist $A$ eine $3\times 3$-Matrix mit dem Eigenwert $\lambda$ und $\operatorname{rang}(A – \lambda I) = 1$, so ist die geometrische Vielfachheit von $\lambda$ gleich $2$.

Wenn eine Matrix $A$ zu einem Eigenwert $\lambda$ genau einen Eigenvektor (bis auf Vielfache) besitzt, dann ist die geometrische Vielfachheit von $\lambda$ gleich $1$.

Um die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes $\lambda$ zu bestimmen, genügt es, die algebraische Vielfachheit von $\lambda$ aus dem charakteristischen Polynom abzulesen.

Wenn für alle Eigenwerte einer $n\times n$-Matrix $A$ die geometrische und algebraische Vielfachheit übereinstimmen, dann ist $A$ diagonalisierbar.