Quick-Facts
- $A^{^\dagger}=R^{^\dagger} C^{^\dagger}=R^{\top} (C^{\top} A R^{\top})^{-1} C^{\top}$
- $(A^\top)^\dagger=(A^\dagger)^\top$
- NUR wenn wir einmal vollen Spaltenrang und einmal vollen Zeilenrang haben gilt $(CR)^\dagger=R^\dagger C^\dagger$
Formeln
Linksinverse bei vollem Spaltenrang
$A^\dagger=(A^\top A)^{-1}A^\top$
$A^\dagger A=I$
Rechtsinverse bei vollem Zeilenrang
$A^\dagger=A^\top (AA^\top)^{-1}$
$AA^\dagger=I$
Pseudoinverse
CR-Zerlegung durchführen
$$
A^\dagger=R^\dagger C^\dagger
$$
C voller Spaltenrang,
R voller Zeilenrang, also
$$
\begin{align}
A^{^\dagger}
&= R^{^\dagger} C^{^\dagger} \\
&= R^{\top} (R R^{\top})^{-1} \, (C^{\top} C)^{-1} C^{\top} \\
&= R^{\top} (C^{\top} C \, R R^{\top})^{-1} C^{\top} \\
&= R^{\top} (C^{\top} A R^{\top})^{-1} C^{\top}
\end{align}
$$
Vgl. Least Squares und Lineare Regression