Äquivalenzrelationen
- reflexiv
- symmetrisch
- transitiv
→ siehe Relationseigenschaften
z.B: $id_{A}$, $\equiv_{m}$
Der Schnitt einer Äquivalenzrelation ist wieder eine Äquivalenzrelation, z.B: $\equiv_{3} \cap \equiv_{5} \; = \; \equiv_{15}$
Beweise, z.B:
Äquivalenzklassen
Eine Äquivalenzklasse entsteht, wenn man eine Menge von Dingen (z. B. Zahlen, Personen, Objekten) nach einer bestimmten Regel (Äquivalenzrelation) in Gruppen einteilt. Zwei Elemente gehören zur selben Klasse, wenn sie nach dieser Regel „gleich“ sind.
z.B.
$$[0]_{\equiv{3}}=\{\dots, -6, -3, 0, 3, 6, \dots\}$$
Partitionen
Sie bilden eine Partition, da
- Jedes Element gehört genau zu einer dieser Klassen.
- Zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt.
- Wenn man alle Klassen zusammenfasst, hat man wieder die Menge.
$$[a]_\Theta = \{\, b \in A \mid b \,\Theta\, a \,\}$$
Beispiel: $A = \mathbb{Z}$, $\Theta = \equiv_5$, $[0]_\Theta = \{0, -5, 5, -10, 10, \ldots\}$, $[2]_\Theta = \{2, -3, 7, -8, 12, \ldots\}$, $[5]_\Theta = [0]_\Theta$
Quotientenmenge
Die Quotientenmenge A/θ ist die Menge aller Äquivalenzklassen.
Beispiel:
$$\mathbb{Z}/\equiv_{3}=\{[0],[1],[2]\}$$
Def.:
$A / \Theta = {\, [a]_\Theta \mid a \in A \,}$ ist Quotientenmenge von $A$ nach $\Theta$.
Ordnungsrelationen
partial order relation
- reflexiv
- antisymmetrisch
- transitiv
→ siehe Relationseigenschaften
z.B. bei Teilbarkeits-Hasse-Diagrammen, siehe Hasse Diagramme, teilt ein oberes Element ja nicht das untere, somit nicht symmetrisch. Da das überall gilt, also antisymmetrisch und somit eine Ordnungsrelation.
Posets
Siehe Posets