eng. Sets
Untermenge: $\subseteq$
Element von: $\in$
→ siehe auch Relationen
1. Element von (∈)
$$
3 \in \{1, 2, 3, 4\}
$$
3 ist ein Element der Menge {1, 2, 3, 4}.
2. Teilmenge (⊆)
$$
\{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\}
$$
bedeutet: Jedes Element von {1, 2} ist auch in {1, 2, 3} enthalten.
Eine echte Teilmenge bedeutet, dass nicht die gleichen Elemente enthalten sein können.
4. Beispiel zur Veranschaulichung
$$
A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{A, 4\}
$$
Dann gilt:
- $1 \in A$ (weil 1 ein Element von A ist)
- $A \in B$ (weil A selbst ein Element in B ist)
- $A \subseteq A$ (jede Menge ist Teilmenge von sich selbst)
- $A \not\subseteq B$ (weil 1, 2, 3 nicht alle in B enthalten sind)
- $\{1,2\} \subset A$, aber $\{1,2,3\} \not\subset A$
5. Toupel
Basically eine Menge mit bestimmter Reihenfolge.
$$(a,b) \;\overset{\text{def}}{=}\; \text{\{\{a\}, \{a, b\}\}}$$
Sonstiges
Russells Paradox
Definiere die Menge
$$R = \{\, x \mid x \notin x \,\}$$
→ (R) enthält alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
Frage: Gilt $R \in R$?
- Falls $R \in R$: Dann enthält sich $R$ ja selbst, aber laut Definition dürfen in $R$ ja nur Elemente sein, die sich selbst nicht enthalten.
- Falls : $R \notin R$: Dann enthält $R$ sich nicht selbst, aber laut Definition müsse $R$ ja dann $R$ enthalten.
→ Widerspruch.
Potenzmenge
Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen.
$$\mathcal{P}(A) \;\stackrel{\text{def}}{=}\; \{\, S \mid S \subseteq A \,\}$$
Beispiel:
$$\mathcal{P}(\{a, b, c\}) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.$$
Eine endliche Menge $A$ enthält $2^{|A|}$ Teilmengen.
Triviale Teilmengen
- Die Menge selbst ist immer eine Teilmenge
- Die leere Menge $\emptyset$ ist immer eine Teilmenge (aber nicht Element jeder Menge)
$\boxed{|A \times B| = |A| \cdot |B|}$
Das Kartesische Produkt
Die Menge aller Paare, bei denen das erste Element aus $A$ und das zweite Element aus $B$ kommt.
Definition:
$$A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \land b \in B \}$$
Beispiele:
- $\emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset$
- $\{1, 2\} \times \{3, 4\} = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
Anzahl Elemente im Kartesischen Produkt: $m\cdot n$ (Produkt der Anzahl der Elemente (Kardinalität) der beiden Mengen)
Außerdem:
$\boxed{|A \times B| = |A| \cdot |B|}$
Sonstiges
Kardinalität = Anzahl der Elemente
