Orhogonalität 04, Orthogonalität und Orthonormalität

Orthogonalität von Unterräumen

• Wir können Orthogonalität von Vektorräumen über ihre Basen überprüfen.
  $v_1,\dots,v_k$ ist Basis von $V$ und $w_1,\dots,w_\ell$ ist Basis von $W$

Wenn $V$ und $W$ orthogonale Unterräume sind, dann ist

$$
{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_\ell}
$$

linear unabhängig.

Korollar 5.1.4
1. $V \cap W = \{0\}$
2. $V+W \text{ ist ein Unterraum}$
3. $\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)\le n$

Orthogonales Komplement

$$
V^\perp = { w\in\mathbb{R}^n \mid w^T v = 0\ \forall v\in V}.
$$

$$
N(A) = C(A^T)^\perp = R(A)^\perp.
$$

$$
V=(V^\perp)^\perp
$$

$$
\mathbb{R}^n = V + V^\perp = \{\, v + w \mid v \in V,\; w \in V^\perp \,\}
$$

Orthogonale Vektorräume

Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. $W=V^\perp$
2. $\dim(V)+\dim(W)=n$
3. Jede Darstellung $u = v + w,\quad v\in V,\ w\in W.$

Achtung – orthogonale Komplemente sind definiert für Unterräume und nicht für einzelne Vektoren.

Orthonormale Vektoren

• orthogonal
• jeweils Länge 1

$A^{T}A = I \Longleftrightarrow$ A hat orthonormale Spalten

Orthogonale Matrizen

Eine Matrix ist orthogonal, wenn ihre Spalten und Zeilen orthonormal sind, muss also quadratisch sein.

Äquivalente Aussagen

1. $Q$ ist orthogonal
2. $Q^T = Q^{-1}$
3. $Q^{T}Q = QQ^{T} = I$

Beispiel Rotationsmatrix (siehe [[LinAlg/Exercises/10 Sheet.pdf|10 Sheet]])

Da $Q^\top Q=I$, gilt für Q:

• $||Qx||=||x||$
• $(Qx)^\top(Qy)=x^\top y$